Bir Efsanenin Ardından: John Nash’e Saygıyla…

John Nash ve eşinin ölümü bilim dünyasının yanı sıra, yaşamlarından esinlenerek yapılan Akıl Oyunları filmi sayesinde onları tanıyan herkesi derinden sarstı. Daha geçtiğimiz aylarda onlarla sohbet etme fırsatı bulmak kederimi bir kat daha artırırken, John Nash’in matematiğe katkılarından bahsedeceğim bu yazıya vesile olması bir nebze teselli sayılabilir. Rahatsızlığı sonrası Princeton Üniversitesi’nde araştırma profesörü olarak çalışan Nash’in 1994 Nobel Ekonomi Ödülü’ne layık görülen çalışması “Oyun Kuramı” üzerineydi. Bu konuda ülkemizde düzenlenen bir konferansa katılmak üzere eşi Alicia Nash ve oğlu ile birlikte geldiğinde, İsmet Berkan’ın 29 Temmuz 2012'de Hürriyet Pazar için yaptığı sıcacık söyleşiyi okumanızı tavsiye ederim; insani yanlarını içtenlikle yansıtıyor.

Ekonomi alanında Nobel Ödülü’nü oyun kuramcıları Reinhard Selten ve John Harsanyi ile paylaşan John Nash,  bu alanda Nobel alan ilk matematikçiydi. 1950’lerin başında kendi aralarında anlaşmaya yanaşmayan oyuncuların bulunduğu bir oyunun nasıl sonlanacağını araştırdı. Kendi adıyla anılan “Nash dengesi”, her bir oyuncu kendi stratejisini değiştirmek istemediğinde ve diğer oyuncuların stratejilerini tam olarak bildiğinde oluşmaktaydı. Nash dengesinin iyi bilinen bir örneği olarak, aynı endüstride iş yapan iki şirketi ele alalım. Her biri ürününe düşük ya da yüksek olmak üzere sadece iki seviyede fiyat biçebilsin. Eğer her ikisi de yüksek fiyat koyarsa, her biri 3 milyon dolar kâr edebilir. Düşük fiyatla ise, her biri ancak 2 milyon dolar kâr edecektir. Fakat eğer biri yüksek, diğeri düşük fiyat koyarsa, düşük fiyat isteyen şirket 4 milyon dolar kâr ederken, yüksek fiyat isteyen şirket en fazla 1 milyon dolar dolar kâr edebilmektedir. Her ikisi birden yüksek fiyat seviyesinde en çok kazanabilecekken, anlaşarak hareket etmezler. Onun yerine birinci şirket yüksek fiyatı seçerse, ikincinin en iyi stratejisi onun altında fiyat kırmak olur. Bunu bilen birinci şirket de kendi kazancının 1 milyon dolara düşmemesi için düşük fiyatı seçer. Böylece her ikisi de düşük fiyattan 2 milyon dolar kazanmış olurlar.

Oyun Kuramı sadece endüstride değil, tüm ekonomide karşılığını bulan, göründüğü kadar da basit olmayan bir kuram. Kısaca, oyuncuların davranışlarının birbirlerinin stratejisini etkilediği fikrine dayanmakta. Tümüyle rekabetçi piyasalarda ya da hiç rakibi olmayan tekellerin bulunduğu durumlarda gerekmese de, gerçekte durum böyle olmadığı için, Oyun Kuramı 1960’lardan itibaren yeni bir çığır açmıştır. Daha büyük çapta ülke ekonomilerindeki uygulamaları da düşünebiliriz: Bazı ülkeler diğerlerine ticari ambargo koyabilir ya da enflasyonu düşük tutmak için hükümetler faiz oranlarına müdahale edebilirler. Oyuncuların davranışları hakkında Nash’inkinden farklı varsayımlar, birçok başka araştırmanın da temeli olmuştur. 

Matematiğe Katkıları

John Nash, kısmi diferansiyel denklemler konusunda yaptığı çalışmalarla 19 Mayıs günü Oslo’da Norveç Kralı’nın elinden 2015 Abel Ödülü’nü aldı.  Talihsiz kaza esnasında, John Nash ve eşi ödül töreninden evlerine dönüyorlardı.  Nash, matematiğin Nobel’i sayılan bu ödülü New York Üniversitesi’nden Louis Nirenberg ile paylaştı. Abel Kurulu, duyurusunda araştırmacıların 1950’li yıllarda doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler kuramı ve bu kuramın geometrik analizdeki uygulamalarında yaptıkları ufuk açan çarpıcı katkılarına vurgu yaptı. 

Geometri, eski Yunancada “yer ölçümü” anlamına gelir. Gündelik yaşamda kullandığımız geometri Öklid zamanından beri var olup, eğriliğin sıfır olduğu durumda geçerlidir. Öklid uzaylarında bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Halbuki bir topun yüzeyine ya da bir eyerin içine çizilen üçgenin iç açılarının toplamı 180 derece olmaz. Matematiksel tanımı 19. yüzyıl başlarında ortaya atılan eğrilik kavramına göre topun eğriliği pozitif, eyerinki ise negatiftir. Gauss ve öğrencisi Riemann tarafından geliştirilen bu fikirler modern geometrinin doğuşunu belirlemiş, etkileri dalga dalga diğer alanlara da yayılmıştır. Örneğin, Riemann’ın fikirlerini yıllar sonra Einstein genel görelilik kuramında kullanmıştır. Buna göre, dört boyutlu uzay-zaman geometrisi eğridir.  

Buna göre geometri ve KDD, tarz ve tarihçe itibariyle çok farklı iki matematik dalı olarak ortaya çıkmakta. Nash’in 1950’lerin ortalarında yayımlanan iki makalesi ve izleyen çalışmalar ise ilginç bir şekilde kesişebileceklerini gösterdi. Yine kendi adıyla anılan “Nash Gömme Teoremleri” geometrik bir nesnenin üstündeki her yörüngenin uzunluğunu koruyarak Öklid uzayına gömülebileceğini söylüyordu. Daha açık bir deyişle, Riemann yüzeyleri gerçek hayatta gözlenemeyen, üç boyutlu Öklid uzayında zihinde canlandırılamayan soyut nesnelerken, bunlara ait her noktayı gerçek hayattaki bir noktaya eşlemek mümkündür. Üstelik bu, eşlenen noktalar arası mesafeleri korumak kaydıyla yapılabilir. Bunun gibi “gömme teoremlerini” kanıtlarken, soyut yüzeyin üstündeki hareketi, Öklid yüzeyindeki hareketle eşlemek gerekir. Kendi teoreminde bu şekilde ortaya çıkan KDD’yi çözmek için Nash tarafından ortaya atılan yöntem o kadar yaratıcı ve kullanışlıydı ki, bulduğu sonuçlar geometri alanından çok, KDD alanında yankı uyandırdı.

Nash’in teoremi sayesinde mümkün olduğu bilinen bir dönüşüme göz atıp, onu son bir kez daha anarak bitirelim: Silindir biçimi verilmiş bir kâğıdı hiç esnetmeden ve yırtmadan simit şekline nasıl dönüştürürsünüz? Nash, teoremini 1954 yılında kanıtlamış olmasına rağmen, bu dönüşüm ancak 2012’de Fransa’da HEVEA projesi kapsamında görselleştirilebildi. Şekilde görüldüğü üzere, sonsuz bir dalga dizisi oluşturularak katlanan kâğıda simit şekli verilmiş.